H. Geiges
Sommersemester 2021
Keine Präsenzveranstaltung
Sprechstunde: nach Vereinbarung
Zuständiger Assistent: Tilman Becker
Die Übungsblätter finden Sie unten auf dieser Seite,
weitere Informationen und
Videos
auf der Übungsseite.
Es gibt keine Zoom-Vorlesungen.
Die Lernmaterialien für die Kalenderwoche werden jeweils am
Montag bereitgestellt;
das Übungsblatt am Dienstag.
In Praise of
Lectures (von Prof. T. W. Körner,
University of Cambridge)
Diese Vorlesung richtet sich an
Studenten, die schon Grundkenntnisse über Mannigfaltigkeiten
aus den Vorlesungen Analysis III oder Elementare Differentialgeometrie
mitbringen. Gleichwohl werden in dieser Einführung
in die Differentialgeometrie zunächst die lokalen Aspekte
betont, die sich auch ohne den Mannigfaltigkeitsbegriff studieren
lassen.
Ziel dieser Vorlesung ist es, diverse geometrische Strukturen auf
Mannigfaltigkeiten zu verstehen. Hierbei ist der Begriff
"geometrische Strukturen" weiter gefaßt als in
einer "klassischen" Einführung in die Differentialgeometrie,
bei der üblicherweise die Riemannsche Geometrie
im Vordergrund steht.
Riemannsche Metriken auf Mannnigfaltigkeiten sind die direkte
Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen der
in der elementaren Differentialgeometrie behandelten
ersten Fundamentalform von Flächen im dreidimensionalen Raum.
Wie dort werden Begriffe wie Geodätische, Parallelismus,
Krümmung und Isometrien behandelt.
Daneben werden in dieser Vorlesung aber auch Symplektische
Strukturen und Kontaktstrukturen eingeführt.
Im Gegensatz zu Riemannschen Metriken haben diese Strukturen
keine lokalen Invarianten wie die Krümmung. Daher sind
diese Strukturen eher von einem global topologischen
Standpunkt aus interessant. Dennoch ist auch ihre lokale
Geometrie von Interesse, zum Beispiel das Studium
von Flüssen, die diese Strukturen erhalten.
Historisch tauchen symplektische Strukturen zuerst im Kontext
der Hamiltonschen Formulierung der klassischen Mechanik auf.
Kontaktstrukturen haben ihren Ursprung in der geometrischen
Optik von Huygens.
Erforderliche Vorkenntnisse: Anfängervorlesungen,
Grundkenntnisse über Mannigfaltigkeiten und
Geometrie von Flächen aus Analysis III und Elementare
Differentialgeometrie.
Literatur:
H. Geiges: An Introduction to Contact Topology,
Cambridge University Press, 2008.
J. M. Lee: Riemannian Manifolds - An Introduction to
Curvature, Springer, 1997.
D. McDuff, D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology,
The Other Place University Press, 2017.
A. McInerney: First Steps in Differential Geometry,
Springer, 2013.
Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußklausur:
50% der Übungsaufgaben
sinnvoll bearbeitet.
Klausurtermine:
Dienstag, 3.8.21, 9:00-12:00, Chemie I-III
Dienstag, 28.9.21, 8:30-11:30, Physik I
Übungsblätter:
Inhaltsverzeichnis:(im Aufbau)
1. Riemannsche Metriken
1.1. Definitionen
1.2. Das Tangentialbündel
1.3. Existenz Riemannscher Metriken
1.4. Der n-Torus
1.5. Die Räume En,
Sn und Hn
2. Zusammenhänge auf Vektorbündeln
2.1. Vektorbündel
2.2. Zusammenhänge
2.3. Existenz linearer Zusamenhänge
2.4. Kovariante Ableitung längs Kurven
2.5. Geodätische
2.6. Parallelverschiebung
3. Der Levi-Civita-Zusammenhang
3.1. Der Tangentialzusammenhang
3.2. Existenz und Eindeutigkeit
3.3. Riemannsche Geodätische und die Exponentialabbildung
3.4. Normalkoordinaten
3.5. Geodätische in En,
Sn und Hn
H. Geiges, 18.12.20