Sprechstunde: nach Vereinbarung

Zuständiger Assistent: Tilman Becker

Aktuell:

Die Übungsblätter finden Sie unten auf dieser Seite, weitere Informationen und Videos
auf der Übungsseite.
Es gibt keine Zoom-Vorlesungen.

Die Lernmaterialien für die Kalenderwoche werden jeweils am Montag bereitgestellt;
das Übungsblatt am Dienstag.

In Praise of Lectures (von Prof. T. W. Körner, University of Cambridge)

Diese Vorlesung richtet sich an Studenten, die schon Grundkenntnisse über Mannigfaltigkeiten aus den Vorlesungen Analysis III oder Elementare Differentialgeometrie mitbringen. Gleichwohl werden in dieser Einführung in die Differentialgeometrie zunächst die lokalen Aspekte betont, die sich auch ohne den Mannigfaltigkeitsbegriff studieren lassen.

Ziel dieser Vorlesung ist es, diverse geometrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten zu verstehen. Hierbei ist der Begriff "geometrische Strukturen" weiter gefaßt als in einer "klassischen" Einführung in die Differentialgeometrie, bei der üblicherweise die Riemannsche Geometrie im Vordergrund steht.

Riemannsche Metriken auf Mannnigfaltigkeiten sind die direkte Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen der in der elementaren Differentialgeometrie behandelten ersten Fundamentalform von Flächen im dreidimensionalen Raum. Wie dort werden Begriffe wie Geodätische, Parallelismus, Krümmung und Isometrien behandelt.

Daneben werden in dieser Vorlesung aber auch Symplektische Strukturen und Kontaktstrukturen eingeführt. Im Gegensatz zu Riemannschen Metriken haben diese Strukturen keine lokalen Invarianten wie die Krümmung. Daher sind diese Strukturen eher von einem global topologischen Standpunkt aus interessant. Dennoch ist auch ihre lokale Geometrie von Interesse, zum Beispiel das Studium von Flüssen, die diese Strukturen erhalten.

Historisch tauchen symplektische Strukturen zuerst im Kontext der Hamiltonschen Formulierung der klassischen Mechanik auf. Kontaktstrukturen haben ihren Ursprung in der geometrischen Optik von Huygens.

Erforderliche Vorkenntnisse: Anfängervorlesungen, Grundkenntnisse über Mannigfaltigkeiten und Geometrie von Flächen aus Analysis III und Elementare Differentialgeometrie.

Literatur:
H. Geiges: An Introduction to Contact Topology, Cambridge University Press, 2008.
J. M. Lee: Riemannian Manifolds - An Introduction to Curvature, Springer, 1997.
M. Levi: Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control, AMS, 2014.
D. McDuff, D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology, The Other Place University Press, 2017.
A. McInerney: First Steps in Differential Geometry, Springer, 2013.

Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußprüfung: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Klausurtermine: Dienstag, 3.8.21, 9:00-12:00, Chemie I-III
Dienstag, 28.9.21, 8:30-11:30, Physik I
Aufgrund der aktuellen Corona-Bestimmungen werde ich die Vorlesung mündlich prüfen.
Die Prüfungen werden im Laufe des Septembers abgehalten.

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)

Inhaltsverzeichnis:

1. Riemannsche Metriken
1.1. Definitionen
1.2. Das Tangentialbündel
1.3. Existenz Riemannscher Metriken
1.4. Der n-Torus
1.5. Die Räume Eⁿ, Sⁿ und Hⁿ

2. Zusammenhänge auf Vektorbündeln
2.1. Vektorbündel
2.2. Zusammenhänge
2.3. Existenz linearer Zusamenhänge
2.4. Kovariante Ableitung längs Kurven
2.5. Geodätische
2.6. Parallelverschiebung

3. Der Levi-Civita-Zusammenhang
3.1. Der Tangentialzusammenhang
3.2. Existenz und Eindeutigkeit
3.3. Riemannsche Geodätische und die Exponentialabbildung
3.4. Normalkoordinaten
3.5. Geodätische in Eⁿ, Sⁿ und Hⁿ

4. Krümmung
4.1. Lokale Flüsse und die Lie-Klammer
4.2. Der Krümmungstensor
4.3. Symmetrien des Krümmungstensors
4.4. Die Schnittkrümmung
4.5. Kovariante Ableitung von Tensoren
4.6. Der Satz von Schur über Raumformen
4.7. Ricci- und Skalarkrümmung
4.8. Einstein-Mannigfaltigkeiten

5. Integrabilität
5.1. Distributionen und Integralmannigfaltigkeiten
5.2. Der Satz von Frobenius
5.3. Flache Riemannsche Mannigfaltigkeiten
5.4. Hyperebenenfelder
5.5. Berührordnung von Kurven
5.6. Schmiegflächen von Ebenenfeldern

6. Grundlagen der Kontaktgeometrie
6.1. Kontaktstrukturen und Reeb-Vektorfelder
6.2. Der Raum der Kontaktelemente
6.3. Legendre-Kurven
6.4. Das Huygenssche Prinzip
6.5. Kontaktvektorfelder und Hamilton-Funktionen
6.6. Differentialgleichungen und Kontaktelemente
6.7. Gray-Stabilität, Moser-Trick und der Satz von Darboux

7. Grundlagen der Symplektischen Geometrie
7.1. Symplektische Lineare Algebra
7.2. Kompatible komplexe Strukturen
7.3. Symplektische Mannigfaltigkeiten
7.4. Vektorfelder auf symplektischen Mannigfaltigkeiten
7.5. Der Satz von Darboux

8. Variationelle Aspekte
8.1. Die Euler-Lagrange-Gleichung
8.2. Riemannsche Geodätische und die Variation
       von Bogenlänge und Energie
8.3. Vom Lagrange- zum Hamilton-Formalismus
8.4. Symplektische Wirkung und das Hamiltonsche Prinzip
8.5. Der Reeb-Fluß und der geodätische Fluß

H. Geiges, 18.12.20