Einführung in die Riemannsche, Symplektische und Kontaktgeometrie, Vorlesung und Übungen

H. Geiges

Sommersemester 2021

Keine Präsenzveranstaltung



Sprechstunde: nach Vereinbarung

Zuständiger Assistent: Tilman Becker

Die Übungsblätter finden Sie unten auf dieser Seite, weitere Informationen und Videos
auf der Übungsseite.
Es gibt keine Zoom-Vorlesungen.

Die Lernmaterialien für die Kalenderwoche werden jeweils am Montag bereitgestellt;
das Übungsblatt am Dienstag.




In Praise of Lectures (von Prof. T. W. Körner, University of Cambridge)


Diese Vorlesung richtet sich an Studenten, die schon Grundkenntnisse über Mannigfaltigkeiten aus den Vorlesungen Analysis III oder Elementare Differentialgeometrie mitbringen. Gleichwohl werden in dieser Einführung in die Differentialgeometrie zunächst die lokalen Aspekte betont, die sich auch ohne den Mannigfaltigkeitsbegriff studieren lassen.

Ziel dieser Vorlesung ist es, diverse geometrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten zu verstehen. Hierbei ist der Begriff "geometrische Strukturen" weiter gefaßt als in einer "klassischen" Einführung in die Differentialgeometrie, bei der üblicherweise die Riemannsche Geometrie im Vordergrund steht.

Riemannsche Metriken auf Mannnigfaltigkeiten sind die direkte Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen der in der elementaren Differentialgeometrie behandelten ersten Fundamentalform von Flächen im dreidimensionalen Raum. Wie dort werden Begriffe wie Geodätische, Parallelismus, Krümmung und Isometrien behandelt.

Daneben werden in dieser Vorlesung aber auch Symplektische Strukturen und Kontaktstrukturen eingeführt. Im Gegensatz zu Riemannschen Metriken haben diese Strukturen keine lokalen Invarianten wie die Krümmung. Daher sind diese Strukturen eher von einem global topologischen Standpunkt aus interessant. Dennoch ist auch ihre lokale Geometrie von Interesse, zum Beispiel das Studium von Flüssen, die diese Strukturen erhalten.

Historisch tauchen symplektische Strukturen zuerst im Kontext der Hamiltonschen Formulierung der klassischen Mechanik auf. Kontaktstrukturen haben ihren Ursprung in der geometrischen Optik von Huygens.

Erforderliche Vorkenntnisse: Anfängervorlesungen, Grundkenntnisse über Mannigfaltigkeiten und Geometrie von Flächen aus Analysis III und Elementare Differentialgeometrie.

Literatur:
H. Geiges: An Introduction to Contact Topology, Cambridge University Press, 2008.
J. M. Lee: Riemannian Manifolds - An Introduction to Curvature, Springer, 1997.
D. McDuff, D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology, The Other Place University Press, 2017.
A. McInerney: First Steps in Differential Geometry, Springer, 2013.




Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußklausur: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Klausurtermine:
Dienstag, 3.8.21, 9:00-12:00, Chemie I-III
Dienstag, 28.9.21, 8:30-11:30, Physik I

Übungsblätter:




Inhaltsverzeichnis:(im Aufbau)

1. Riemannsche Metriken
1.1. Definitionen
1.2. Das Tangentialbündel
1.3. Existenz Riemannscher Metriken
1.4. Der n-Torus
1.5. Die Räume En, Sn und Hn

2. Zusammenhänge auf Vektorbündeln
2.1. Vektorbündel
2.2. Zusammenhänge
2.3. Existenz linearer Zusamenhänge
2.4. Kovariante Ableitung längs Kurven
2.5. Geodätische
2.6. Parallelverschiebung

3. Der Levi-Civita-Zusammenhang
3.1. Der Tangentialzusammenhang
3.2. Existenz und Eindeutigkeit
3.3. Riemannsche Geodätische und die Exponentialabbildung
3.4. Normalkoordinaten
3.5. Geodätische in En, Sn und Hn

H. Geiges, 18.12.20