Zuständiger Assistent: Norman Thies (norman.thies at uni-koeln.de)

Hier finden Sie das Buch Einführung in die Komplexe Analysis von Fischer und Lieb als eBook.
Sie haben freien Zugriff darauf, wenn Sie sich per VPN im Universitätsnetz anmelden;
eine Anleitung dazu finden Sie hier.
Diese Neufassung des unten genannten Buches Funktionentheorie derselben Autoren ist
sehr leserfreundlich und bestens geeignet als Begleitlektüre zum Skript.

Die Übungsblätter finden Sie unten auf dieser Seite.
Es wird voraussichtlich vier Übungsgruppen geben, montags und dienstags jeweils um 10 oder um 12 Uhr.

Hier geht es zur Übungsseite (Anmeldung zu den Übungen, Gruppeneinteilung).

Hier ist die ILIAS-Seite. Dort finden Sie das Skript und weitere Informationen zur Vorlesung.
Physiker, die sich nicht über KLIPS anmelden können, schreiben bitte eine E-Mail an Norman, um Zugang zum ILIAS-Kurs zu erhalten.

Mit Funktionentheorie bezeichnet man traditionell das Studium von komplexwertigen Funktionen, die auf Gebieten der komplexen Ebene definiert und überall komplex differenzierbar sind. Diese sogenannten holomorphen Funktionen sind einerseits sehr gewöhnlich: die wichtigsten Funktionen der rellen Analysis (wie z.B. Polynome, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion und Logarithmus) besitzen eine natürliche Erweiterung zu einer holomorphen Funktion. Andererseits treten ungewöhnliche neue Phänomene auf. So sind komplex differenzierbare Funktionen automatisch unendlich oft differenzierbar, und ihr Werteverhalten ist schon durch das Verhalten in einer kleinen offenen Menge weitgehend festgelegt. Noch erstaunlicher ist, daß sich manche Fragen der reellen Analysis erst durch den Umweg über eine holomorphe Erweiterung beantworten lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Berechnung gewisser uneigentlicher Integrale.

Kenntnisse in Funktionentheorie sind ein unverzichtbarer Bestandteil mathematischer Bildung, auch für Physiker. Methoden und Ergebnisse der komplexen Analysis finden Anwendungen in vielen anderen Bereichen der Mathematik (z.B. konforme Abbildungen in der Geometrie) und in der Physik (ebene Strömungen, Wärmeleitungsgleichung etc.).

Literatur:
Ich werde mein Manuskript im ILIAS-Kurs zur Verfügung stellen.

Daneben empfehle ich folgende Bücher:

W. Fischer, I. Lieb: Funktionentheorie, Vieweg, 1985.
K. Jänich: Funktionentheorie, Springer, 1999.
T. Needham: Visual Complex Analysis, Oxford University Press, 1997.

Tutorium: Donnerstag, 16:00 Uhr, Hörsaal des MI (Beginn: 10.4.25)

Zulassungskriterium für die Abschlußklausur: 50% der Punkte aus Übungsaufgaben.

Klausurtermine:
Samstag, 02.08.2025, 9:00-12:00, Kurt-Alder-Hörsaal
Mittwoch, 17.09.2025, 8:00-11:00, Physik I

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)

Inhaltsverzeichnis:

1. Holomorphe Funktionen
1.1. Komplexe Differenzierbarkeit
1.2. Potenzreihen
1.3. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

2. Der Cauchysche Integralsatz und Folgerungen
2.1. Kurvenintegrale
2.2. Der Cauchysche Integralsatz
2.3. Die Cauchy-Formel und der Potenzreihenentwicklungssatz
2.4. Holomorphiekriterien
2.5. Nullstellen holomorpher Funktionen
2.6. Identitätssatz, Gebietstreue, Maximumprinzip

3. Isolierte Singularitäten
3.1. Drei Typen isolierter Singularitäten
3.2. Meromorphe Funktionen und die Riemannsche Zahlensphähre
3.3. Laurentreihen
3.4. Charakterisierung isolierter Singularitäten
3.5. Automorphismengruppen

4. Analytische Fortsetzung
4.1. Exponentialfunktion und Logarithmus
4.2. Analytische Fortsetzung längs Kreisketten
4.3. Analytische Fortsetzung längs Kurven
4.4. Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale
4.5. Homotopie und Fundamentalgruppe
4.6. Der Monodromiesatz

5. Die Umlaufzahlversion des Cauchyschen Integralsatzes
5.1. Die Umlaufzahl
5.2. Der Cauchysche Integralsatz

6. Der Residuensatz
6.1. Residuen
6.2. Anwendungen des Residuensatzes in der reellen Analysis
6.3. Nullstellen, Polstellen und der Satz von Rouché

7. Konvergenzsätze

8. Der Riemannsche Abbildungssatz

9. Parerga und Paralipomena

H. Geiges, 9.12.24