Sprechstunde: Mi, Do 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)

Die Differentialtopologie studiert Mannigfaltigkeiten, d.h. lokal euklidische Räume (mit gewissen weiteren Eigenschaften), und Abbildungen zwischen diesen. Mannigfaltigkeiten sind in vielen verschiedenen Gebieten von Bedeutung: als Lie-Gruppen in der Algebra und Geometrie, als Raum-Zeit in der Relativitätstheorie, als Phasenräume und Energieflächen in der Mechanik etc. In diesen Anwendungen treten Mannigfaltigkeiten mit einer zusätzlichen Struktur auf, wie etwa einer Riemannschen Metrik, einem dynamischen System, oder einer symplektischen Struktur. Die Differentialtopologie dagegen studiert Mannigfaltigkeiten an sich und verwendet zusätzliche Strukturen allenfalls als Hilfsmittel. Insbesondere sind die Fragen der Differentialtopologie typischerweise globaler Natur.

In diesem ersten Teil einer auf zwei Semester angelegten Einführung in die Differentialtopologie soll gezeigt werden, wie man schon mit einem relativ geringen technischen Aufwand einige fundamentale Sätze der Topologie beweisen kann. Insbesondere sollen der Fixpunktsatz von Brouwer und der Indexsatz für Vektorfelder von Poincaré-Hopf bewiesen werden.

Erforderliche Vorkenntnisse: Grundvorlesungen, Analysis III, mengentheoretische Topologie im Umfang von Kapitel 1 im unten angegebenen Buch von Jänich (üblicherweise in Analysis II behandelt).

Literatur:
D. Barden, C. Thomas: An Introduction to Differential Manifolds, Imperial College Press.
Th. Bröcker, K. Jänich: Einführung in die Differentialtopologie, Springer.
V. Guillemin, A. Pollack: Differential Topology, Prentice-Hall.
M.W. Hirsch: Differential Topology, Springer.
J.W. Milnor: Topology from the Differentiable Viewpoint, University Press of Virginia.

Für die Grundlagen der mengentheoretischen Topologie:
K. Jänich: Topologie, Springer.

Für Bezüge zur theoretischen Physik:
M. Göckeler, T. Schücker: Differential Geometry, Gauge Theories, and Gravity

Scheinkriterium: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Übungen: Mi, Do 16-18 Uhr, Philosophikum S 54

Zuständiger Assistent: Bijan Sahamie (Raum 223); Übungsleiter: Christian Stromenger

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (ps)
Übungsblatt 2 (ps)
Übungsblatt 3 (ps)
Übungsblatt 4 (ps)
Übungsblatt 5 (ps)
Übungsblatt 6 (ps)
Übungsblatt 7 (ps)
Übungsblatt 8 (ps)
Übungsblatt 9 (ps)
Übungsblatt 10 (ps)
Übungsblatt 11 (ps)
Übungsblatt 12 (ps)
Übungsblatt 13 (ps)
Übungsblatt 14 (ps)

Inhaltsverzeichnis:

0. Untermannigfaltigkeiten des Rⁿ

1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Abbildungen
1.1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten: Definitionen & Beispiele
1.2. Differenzierbare Abbildungen: Definitionen & Beispiele
1.3. Untermannigfaltigkeiten
-- Die orthogonale Gruppe
-- Der Fundamentalsatz der Algebra
1.4. Der Whitneysche Einbettungssatz

2. Der Tangentialraum und die Ableitung differenzierbarer Abbildungen
2.1. Definition des Tangentialraumes
2.2. Das Differential einer differenzierbaren Abbildung
2.3. Vergleich der Definitionen des Algebraikers und des Geometers
2.4. Das Tangentialbündel
-- Der Satz von Sard
-- Der Whitneysche Einbettungssatz, zum zweiten
2.5. Vektorfelder und 1-Formen

3. Partition der Eins
3.1. Parakompaktheit und gute Atlanten
3.2. Riemannsche Metriken
3.3. Konstruktion glatter Abbildungen und Approximationssätze
3.4. Anwendungen
-- Der Brouwersche Fixpunktsatz
-- Der Whitneysche Einbettungssatz, zum dritten

4. Der Abbildungsgrad
4.1. Mannigfaltigkeiten mit Rand
4.2. Der Abbildungsgrad mod 2
4.3. Orientierung von Mannigfaltigkeiten
4.4. Der ganzzahlige Abbildungsgrad
4.5. Vektorfelder und die Euler-Charakteristik
4.6. Die Windungszahl und der Satz von Borsuk-Ulam

5. Vektorbündel und allgemeinere Faserbündel
5.1. Vektorbündel: Definitionen & Beispiele
5.2. Lineare Algebra für Vektorbündel
5.3. Reduktion der Strukturgruppe
-- Orientierung von Vektorbündeln
-- Riemannsche Metriken auf Vektorbündeln
5.4. Faserbündel

6. Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
6.1. Dynamische Systeme
6.2. Kragen berandeter Mannigfaltigkeiten
6.3. Geodätische
6.4. Tubenumgebungen

7. Beweis des Satzes von Sard

H. Geiges, 23.1.06