Sprechstunde: Mi, Do 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)

Diese Vorlesung richtet sich an Studenten mit soliden Grundkenntnissen in Geometrie und Topologie, insbesondere auch an Doktoranden des Graduiertenkollegs Globale Strukturen in Geometrie und Analysis. Die Kontaktgeometrie beschäftigt sich mit maximal nicht-integrierbaren Hyperebenenfeldern auf ungerade-dimensionalen Mannigfaltigkeiten und stellt das ungerade-dimensionale Analogon der symplektischen Geometrie dar. Die physikalischen Ursprünge der Kontaktgeometrie liegen in der geometrischen Optik, der klassischen Mechanik, und in der Thermodynamik. Die Kontaktgeometrie besitzt aber auch vielfältige Verflechtungen mit anderen Gebieten der Mathematik, wie der komplexen, projektiven, oder Riemannschen Geometrie, was den russischen Mathematiker Vladimir Arnold zu dem Ausspruch verleitete, "Contact geometry is all geometry". In den letzten Jahren hat sich die Kontaktgeometrie auch als Hilfsmittel in der geometrischen Topologie als außerordentlich wirksam erwiesen, beispielsweise beim Beweis des berühmten Satzes Γ₄ = 0 von Cerf und dem Nachweis der `Property P' von Knoten. In der Vorlesung sollen die Grundlagen und historischen Wurzeln der Kontaktgeometrie erläutert werden. Danach werden insbesondere Fragen der 3-dimensionalen Kontaktgeometrie diskutiert bis hin zu den genannten topologischen Anwendungen.

Literatur:
H. Geiges: An Introduction to Contact Topology, in Vorbereitung.
D. McDuff, D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology, Clarendon Press, 1998.

Für Grundlagen:
F. Warner: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983.

Scheinkriterium: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Übungen: Fr 8-10, Philosophikum S52

Zuständiger Assistent und Übungsleiter: Bijan Sahamie (Raum 223)

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (ps)
Übungsblatt 2 (ps)
Übungsblatt 3 (ps)
Übungsblatt 4 (ps)
Übungsblatt 5 (ps)
Übungsblatt 6 (ps)
Übungsblatt 7 (ps)
Übungsblatt 8 (ps)
Übungsblatt 9 (ps)
Übungsblatt 10 (ps)
Übungsblatt 11 (ps)
Übungsblatt 12 (ps)
Übungsblatt 13 (ps)

Inhaltsverzeichnis:

1. Distributionen und der Satz von Frobenius

2. Facetten der Kontaktgeometrie
2.1. Kontaktstrukturen und Reeb-Vektorfelder
2.2. Der Raum der Kontaktelemente
2.3. Zwischenspiel: Symplektische Lineare Algebra
2.4. Symplektische Mannigfaltigkeiten und Liouville-Felder

3. Kontaktmannigfaltigkeiten
3.1. Gray-Stabilität und der Moser-Trick
3.2. Kontaktvektorfelder und Hamilton-Funktionen
3.3. Der Satz von Darboux
3.4. Umgebungssätze
  3.4.1. Legendre-Knoten
  3.4.2. Transversale Knoten
3.5. Isotopieerweiterungssätze

4. Knoten in 3-dimensionalen Kontaktmannigfaltigkeiten
4.1. Die Front- und die Lagrange-Projektion
4.2. Approximationssätze
4.3. Die klassischen Invarianten

5. Kontaktstrukturen auf 3-Mannigfaltigkeiten
5.1. Der Satz von Martinet
5.2. Verzweigte Überlagerungen
5.3. Offene Bücher
5.4. Straff und überdreht

6. Flächen in 3-dimensionalen Kontaktmannigfaltigkeiten
6.1. Die charakteristische Blätterung
6.2. Konvexe Flächen
6.3. Das Eliminations-Lemma
6.4. Die Bennequin-Ungleichung

7. Der Satz von Cerf

8. Die Klassifikation überdrehter Kontaktstrukturen
8.1. Der Klassifikationssatz von Eliashberg
8.2. Der Beweis im Überblick
8.3. Charakteristische Blätterungen auf Sphären
8.4. Die Konstruktion in einer Umgebung des 2-Skelettes
8.5. Beweis des Klassifikationssatzes

9. Kontakt-Dehn-Chirurgie, symplektische Füllungen und Eigenschaft P für Knoten
9.1. Eigenschaft P für Knoten
9.2. Kontakt-Dehn-Chirurgie
9.3. Symplektische Füllungen

H. Geiges, 7.2.07