Sprechstunde: Di 15.30-16.30, Do 10-11.

Zuständiger Assistent: Norman Thies (norman.thies at uni-koeln.de)

Aktuell: Zusätzlich zur Vorlesung biete ich mittwochs oder freitags im Wechsel, 8-9:30 Uhr, im Hörsaal des MI ein Tutorium zur Vorlesung an.
Tutoriumstermine:
Oktober: Fr 31.10.
November: Mi 5.11., Fr 14.11., Mi 19.11, Fr 28.11.
Dezember: Mi 3.12., Fr 12.12., Mi 17.12.
Januar: Fr 9.1., Mi 14.1., Fr 23.1., Mi 28.1.
Februar: Fr 6.2.

Aktuell: Hier die Liste der Studenten, die in diesem Semester
die Klausurzulassung erreicht haben.

Aktuell: In der vorlesungsfreien Zeit biete ich zwei weitere Tutorien an.
Do 19.2. und Fr 20.2., jeweils 10:00 - 11:30 Uhr im Hörsaal des MI.

Die Übungsblätter finden Sie unten auf dieser Seite.

Hier geht es zur Übungsseite (Anmeldung zu den Übungen, Gruppeneinteilung).

Hier ist die ILIAS-Seite.
Dort finden Sie das Skript und weitere Informationen zur Vorlesung.
Außerdem werde ich dort die "Corona-Videos" hochladen.

In Praise of Lectures (von Prof. T. W. Körner, University of Cambridge).

Die Vorlesung Elementare Differentialgeometrie richtet sich an Studenten ab dem 3. Semester und ist auch im Rahmen des Lehramtsstudiums sehr zu empfehlen. Wir behandeln die klassische Theorie von Kurven und Flächen im dreidimensionalen Raum, wie sie von Carl Friedrich Gauß in seiner bahnbrechenden Arbeit Disquisitiones generales circa superficies curvas von 1827 entwickelt wurde. Im Zentrum steht die lokale und globale Geometrie von Flächen, zu deren Beschreibung verschiedene Krümmungsgrößen dienen. Damit kann man z.B. verstehen, warum es nicht möglich ist, exakte Karten der Erdoberfläche anzulegen. Der Begriff der Geodätischen, d.h. lokal kürzesten Wegen auf Flächen, spielt hier eine wichtige Rolle. Diese Kurven sind auch in der Physik von Bedeutung, etwa bei der Beschreibung von Lichtstrahlen in Modellen der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Ein herausragender Satz (lateinisch Theorema Egregium) behandelt die Tatsache, daß die zunächst extrinsisch - d.h. durch Bezug auf den umgebenden 3-dimensionalen Raum - definierte Gauß-Krümmung in Wirklichkeit eine intrinsische Größe ist, d.h. von "2-dimensionalen" Bewohnern der Fläche direkt bestimmt werden kann.

Mit dem Satz von Gauß-Bonnet wird dann das Zusammenspiel zwischen lokaler Geometrie und globaler Topologie von Flächen behandelt. Grob gesprochen besagt dieser Satz, daß man durch Messung der lokalen Krümmung überall auf der Fläche entscheiden kann, ob man sich etwa auf einer Sphäre oder einem Torus befindet.

Erforderliche Vorkenntnisse: Analysis I&II und Lineare Algebra I, oder Mathematik für das Lehramt I&II

Literatur:
C. Bär: Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter, 2001.
M. P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg, 1983.
P. Dombrowski:150 years after Disquisitiones generales circa superficies curvas, Société Mathématique de France, 1979.
R. S. Millman, G. D. Parker: Elements of Differential Geometry, Prentice Hall, 1977.

Zulassungsvoraussetzung zur Abschlußklausur: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Klausurtermine:
Samstag, 28.02.2026, 9:00-12:00, Kurt-Alder-Hörsaal, Physik I
Mittwoch, 25.03.2026, 14:00-17:00, Kurt-Alder-Hörsaal

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)

Inhaltsverzeichnis:

0. Überblick

1. Lokale Kurventheorie

2. Globale Theorie ebener Kurven - Der Umlaufsatz

3. Lokale Flächentheorie
3.1. Flächenstücke, Tangentialebene
3.2. Flächen, differenzierbare Funktionen
3.3. Die erste Fundamentalform
3.4. Normalkrümmung, geodätische Krümmung, Ableitungsgleichungen
3.5. Geodätische
3.6. Parallelismus
3.7. Die zweite Fundamentalform und die Weingarten-Abbildung
3.8. Krümmungsbegriffe
3.9. Minimalflächen
3.10. Isometrien
3.11. Das Theorema Egregium

4. Globale Flächentheorie
4.1. Eine Charakterisierung der Sphäre
4.2. Geodätische Parallelkoordinaten
4.3. Der lokale Satz von Gauß-Bonnet
4.4. Euler-Charakteristik und der globale Satz von Gauß-Bonnet
4.5. Eiflächen
4.6. Vektorfelder auf Flächen - Der Poincaré-Hopfsche Indexsatz

5. Grundlagen der Variationsrechnung
5.1. Die Euler-Lagrange-Gleichung
5.2. Energie-Funktional und Geodätische
5.3. Johann Bernoullis Lösung des Brachistochronenproblems
5.4. Die Zykloide

H. Geiges, 21.5.25