Algebraische Topologie, Vorlesung und Übungen

H. Geiges

Wintersemester 2004/05

Vorlesung: Di, Mi 8-10 im Hörsaal des MI



Sprechstunde: Di, Mi 10-11 und nach Vereinbarung (Raum 208)

Zuständiger Assistent: Klaus Niederkrüger (Raum 223)




Die Vorlesung Algebraische Topologie mit Schwerpunkt auf der Homologietheorie richtet sich an Studierende ab dem 5. Semester. Laut Frank Adams, einem der bedeutendsten Topologen des letzten Jahrhunderts, sieht ein Kurs in Homologietheorie typischerweise wie folgt aus. 13 Wochen: Wie baut man ein Auto? --- Eine Woche: Warum ist es gut, ein Auto zu haben? Weil man dann von A nach B fahren kann.

In dieser Einführung in die Homologietheorie sollen dagegen von Anfang an geometrische Anwendungen mit im Vordergrund stehen. Zunächst wird die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes behandelt und zur vollständigen Klassifikation von Flächen verwendet. Danach wird die Homologietheorie entwickelt, mit Anwendungen (u.a.) aus der geometrischen Topologie (Struktur von Mannigfaltigkeiten), aus der Gastronomie (Schinken-Sandwich-Theorem) und der Meteorologie: Auf der Erde gibt es stets zwei antipodale Punkte, an denen die gleiche Temperatur und Luftfeuchtigkeit herrschen.

Erforderliche Vorkenntnisse: Mengentheoretische Topologie (wie z.B. aus meiner Vorlesung Analysis II), elementare Algebra (Gruppen, Ringe, Homomorphismen). Spezielle Kenntnisse aus der Vorlesung `Algebra' werden nicht vorausgesetzt. Kenntnisse über (Unter-)Mannigfaltigkeiten (wie z.B. aus meiner Vorlesung Analysis III) sind hilfreich, werden aber weitestgehend nicht vorausgesetzt.

Literatur:

M.A. Armstrong: Basic Topology, Springer, 1983.
G.E. Bredon: Topology and Geometry, Springer, 1993.
T. tom Dieck: Topologie, 2. Auflage, de Gruyter, 2000.
A. Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.
K. Jänich:Topologie, Springer, 1996.
W.S. Massey: A Basic Course in Algebraic Topology, Springer, 1991.

Für den Abschnitt über Differentialformen auch meine Vorlesung Analysis III und
I. Agricola, Th. Friedrich: Globale Analysis, Vieweg, 2001.




Scheinkriterium: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (ps)
Übungsblatt 2 (ps)
Übungsblatt 3 (ps)
Übungsblatt 4 (ps)
Übungsblatt 5 (ps)
Übungsblatt 6 (ps)
Übungsblatt 7 (ps)
Übungsblatt 8 (ps)
Übungsblatt 9 (ps)
Übungsblatt 10 (ps)
Übungsblatt 11 (ps)
Übungsblatt 12 (ps)
Übungsblatt 13 (ps)




Inhaltsverzeichnis:

0. Motivation

1. Flächen

2. Homotopie und Fundamentalgruppe
2.1. Homotopie und Homotopieäquivalenz
2.2. Konstruktion der Fundamentalgruppe
2.3. Die Fundamentalgruppe von S1
2.4. Anwendungen
-- Der Brouwersche Fixpunktsatz
-- Der Fundamentalsatz der Algebra
2.5. Die Fundamentalgruppe von Flächen

3. Homologietheorie
3.1. Definition der singulären Homologiegruppen
3.2. Der von einer Abbildung induzierte Homomorphismus
3.3. Relative Homologiegruppen
3.4. Der Ausschneidungssatz

4. Berechnung von Homologiegruppen
4.1. Homologie von Sphären
-- Der Brouwersche Fixpunktsatz
4.2. Der Abbildungsgrad
-- Der Satz vom Igel
4.3. Die Mayer-Vietoris-Sequenz
-- Homologie von Sphären und Flächen
4.4. Der verallgemeinerte Jordansche Kurvensatz
-- Jordan-Brouwer Trennungssatz, Gebietsinvarianz
4.5. H1(X) und π1(X)

5. CW-Komplexe
5.1. Konstruktion und Beispiele
5.2. Ankleben von Zellen und Homologie
-- Homologie von projektiven Räumen
5.3. Zelluläre Homologie
5.4. Die Euler-Charkteristik

6. Homologie mit Koeffizienten
6.1. Definition und Beispiele
6.2. Überlagerungen und der Satz von Borsuk-Ulam
-- Das Schinken-Sandwich-Theorem
-- Der Satz von Lusternik-Schnirelmann

7. Cohomologietheorie
7.1. Singuläre Cohomologie
7.2. Zwischenspiel: Die Dimension reeller Divisionsalgebren
7.3. De Rham Cohomologie
7.4. Der de Rham Isomorphismus
7.5. De Rham Cohomologie von CPn und Sk× Sl
7.6. De Rham Theorie von Flächen: Schnittzahl und Poincaré-Dualität

8. Klassifikation von Mannigfaltigkeiten

H. Geiges, 10.1.05