Geometrische Analysis

(vier Stunden Vorlesung + zwei Stunden Übungen)

Sommersemester 2012

Inhalt: (pdf)

Ein wichtiges Werkzeug in der komplexen Geometrie ist der Satz von Hodge. Er besagt, daß DeRham-Kohomologieklassen
auf geschlossenen orientierten Riemannschen Mannigfaltigkeiten sich in eindeutiger Weise durch harmonische Differentialformen
repräsentieren lassen. Ziel der Vorlesung ist es, diesen Satz zu beweisen. Dazu werde ich die grundlegenden Begriffe glatter
Mannigfaltigkeiten, Differentialformen und Integration auf Mannigfaltigkeiten einführen und die für die Hodge-Theorie notwendigen
elliptischen Methoden (Regularitätstheorie des Laplace-Operators, Sobolew-Räume) ausführlich behandeln. Als schöne Anwendung
werde ich am Ende der Vorlesung den Satz von Moser über die Homotopieäquivalenz von volumen- und orientierungserhaltenden
Diffeomorphismen nach einer Idee von Hansjörg Geiges beweisen.

Die Vorlesung richtet sich an Studenten mit Grundkenntnissen in linearer Algebra und Analysis.

Literatur:

F. W. Warner: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, New York, 1983.

Ergänzend:
T. Bröcker, K. Jänich: Einführung in die Differentialtopologie, Springer, Berlin-New York, 1973.
L. Conlon: Differentiable manifolds: a first course, Birkhäuser, Boston, 1993.
M. W. Hirsch: Differential topology, Springer-Verlag, New York, 1976.
K. Jänich: Vektoranalysis, Springer, Berlin-Heidelberg, 1992.

Weiterführend:
P. Griffiths, J. Harris: Principles of Algebraic Geometry, Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York, 1978.
J. Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, 2nd, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1998.
A. Kriegl, P. W. Michor: The convenient setting of global analysis, American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.
S. Rosenberg: The Laplacian on a Riemannian manifold, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
R. O. Wells: Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer, Berlin-Heidelberg, 1980.

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)

Eine Kopie meines Skriptes finden Sie in der Bibliothek des Fachbereiches Mathematik an der Universität Hamburg.

K. Zehmisch, 07.10.2012