Differentialgeometrie

Marco Freibert

Sommersemester 2018

Vorlesung: Di 8.15-9:45, Mi 14-15:30 im Hörsaal des MI

Übung: Mo 12:15 - 13:45 im Seminarraum 3 des MI



Die Vorlesung Differentialgeometrie behandelt die Grundzüge der Riemannschen Geometrie. In der Riemannschen Geometrie geht es um differenzierbare Mannigfaltigkeiten M, die mit einer Riemannschen Metrik ausgestattet sind, welche es uns erlaubt, auf M Winkel zwischen Tangentialvektoren, Längen von Kurven, Abstände sowie verschiedene Krümmungsgrößen intrinsisch, d.h. ohne Rückgriff auf einen umgebenden Rn, zu definieren. Ziel der Vorlesung ist es, zu zeigen, dass bestimmte Einschränkungen an die gerade genannten Krümmungsgrößen die Topologie von M restringieren (Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung, Satz von Hadamard, Satz von Bonnet-Myers). Wir werden zunächst eine Einfuhrung in die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten geben. Anschließend werden wir Riemannsche Mannigfaltigkeiten einführen und grundlegende Themen der Riemannschen Geometrie wie den Levi-Civita Zusammenhang, Parallelverschiebung und Geodätische, den Satz von Hopf-Rinow, die oben genannten verschiedenen Krümmungsgrößen sowie Jacobi-Felder behandeln. Danach werden wir die oben genannten Sätze zur Einschränkung der globalen Topologie unter bestimmten Krummungsvoraussetzungen beweisen. Wenn die Zeit es erlaubt, werden wir abschließend noch einen kurzen Exkurs in die Untermannigfaltigkeitstheorie geben. Als Vorkenntnisse werden nur die Grundvorlesungen vorausgesetzt. Ein vorheriger Besuch der Vorlesung "Elementare Differentialgeometrie" ist nicht zwingend notwendig, da wir alle benötigten Begriffe wiederholen werden, erleichtert aber sicher das Verständnis.

Literatur:

M. P. do Carmo: Riemannian geometry, Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser Verlag, 1992.
D. Gromoll, W. Klingenberg und W. Meyer: Riemannsche Geometrie im Großen, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 1975.
J. M. Lee: Riemannian manifolds: An introduction to curvature, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1997.


Kriterium für die Zulassung zur Abschlussprüfung: 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet.
Gerne können Sie Ihre Übung zu zweit abgeben.

Die Abschlussprüfung findet mündlich statt.

WICHTIG: Zur Anmeldung zur Prüfung muss das Formular "Antrag auf mündliche Prüfung" in der Sprechstunde des Prüfungsamts abgegeben werden. Sie erhalten dann das Prüfungsprotokoll, dass zur Prüfung unbedingt mitgebracht werden muss.

Prüfungstermine:
Donnerstag, 09.08.18 10.15 Uhr MI S3 7320905
Donnerstag, 09.08.18 11.00 Uhr MI S3 4750271
Donnerstag, 09.08.18 13.45 Uhr MI S3 7305875
Donnerstag, 09.08.18 14.30 Uhr MI S3 5782309
Freitag, 10.08.18 9.00 Uhr MI S3 7319644
Freitag, 10.08.18 9.45 Uhr MI S3 7322904
Freitag, 10.08.18 10.30 Uhr MI S3 5820502
Freitag, 10.08.18 11.15 Uhr MI S3 5778069
Freitag, 10.08.18 12.00 Uhr MI S3 5782910
Dienstag 11.09.18 10.00 Uhr MI S3 7313877


Vorlesungsskript (pdf)

Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf), Musterlösung (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)