Vorlesung: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Prof. Dr. Uwe Semmelmann

Inhalt: In dieser Vorlesung werden Mannigfaltigkeiten studiert, dh. lokal euklidische Räume (mit gewissen weiteren Eigenschaften). Es soll gezeigt werden, wie man mit relativ geringem technischen Aufwand einige fundamentale Sätze der Topologie beweisen kann. Insbesondere sollend er Fixpunktsatz von Brouwer und der Indexsatz für Vektorfelder von Poincare-Hopf bewiesen werden.

Vorkenntnisse: Grundvorlesungen in Analysis und linearer Algebra.

Zeit und Ort: dienstags, mittwochs 14:00, Hörsaal des MI

Skript der Vorlesung

1. Vorlesung: (13. April 2010) - Mannigfaltigkeiten und glatte Abbildungen - PDF .
2. Vorlesung: (14. April 2010) - Immersionen, Submersionen - PDF .
3. Vorlesung: (20. April 2010) - Satz vom regulären Wert, Anwendungen - PDF .
4. Vorlesung: (21. April 2010) - Transversalität - PDF .
5. Vorlesung: (27. April 2010) - Homotopie und Stabilität - PDF .
6. Vorlesung: (28. April 2010) - Der Satz von Sard - PDF .
7. Vorlesung: ( 4. Mai 2010) - Der Einbettungssatz von Whitney I - PDF .
8. Vorlesung: ( 5. Mai 2010) - Der Einbettungssatz von Whitney II - PDF .
9. Vorlesung: (11. Mai 2010) - Mannigfaltigkeiten mit Rand - PDF .
10. Vorlesung: (11. Mai 2010) - Fixpunktsatz von Brouwer - PDF .
11. Vorlesung: (18. Mai 2010) - Abbildungsgrad mod 2 - PDF.
12. Vorlesung: (19. Mai 2010) - Satz von Borsuk-Ulam - PDF.
13. Vorlesung: (01. Juni 2010) - Orientierungen, ganzzahliger Abbildungsgrad - PDF. .
14. Vorlesung: (02. Juni 2010) - Anwendungen, Index von Vektorfeldern - PDF.
15. Vorlesung: (08. Juni 2010) - Beweis des Indexsatzes von Poincare-Hopf - PDF. .
16. Vorlesung: (09. Juni 2010) - Die Fundamentalgruppe - PDF.
17. Vorlesung: (16. Juni 2010) - Gradient, Rotation, Divergenz - PDF. .
18. Vorlesung: (22. Juni 2010) - DeRham-Kohomologie - PDF.
19. Vorlesung: (23. Juni 2010) - Lemma von Poincare - PDF. .
20. Vorlesung: (29. Juni 2010) - Die lange exakte Kohomologie-Sequenz - PDF.
21. Vorlesung: (30. Juni 2010) - Mayer-Vietoris Sequenz und Homotopie - PDF. .
22. Vorlesung: (06. Juli 2010) - Kohomologie-Berechnung - PDF.
23. Vorlesung: (07. Juli 2010) - Anwendungen - PDF. .
24. Vorlesung: (13. Juli 2010) - DeRham Kohomologie auf Mannigfaltigkeiten - PDF.
25. Vorlesung: (14. Juli 2010) - Orientierung, Integration, Abbildungsgrad - PDF. .
26. Vorlesung: (20. Juli 2010) - Index von Vektorfeldern, Morse-Funktionen - PDF.
27. Vorlesung: (21. Juli 2010) - Beweis des Satzes von Poincare-Hopf - PDF. .

Übungsblätter zur Vorlesung

1. Übungsblatt (Abgabe bis 29. April), Mitschrift der 1. Übung (von M. Blatt), Musterlösung, Ergänzung zur 2. Übung. .
2. Übungsblatt (Abgabe bis 6. Mai).
3. Übungsblatt (Abgabe bis 12. Mai, in der Vorlesung).
4. Übungsblatt (Abgabe bis 20. Mai).
5. Übungsblatt (Abgabe bis 2. Juni, in der Vorlesung).
6. Übungsblatt (Abgabe bis 10. Juni).
7. Übungsblatt (Abgabe bis 17. Juni).
8. Übungsblatt (Abgabe bis 24. Juni).
9. Übungsblatt (Abgabe bis 1. Juli).
10. Übungsblatt (Abgabe bis 8. Juli).
11. Übungsblatt (Abgabe bis 15. Juli).
12. Übungsblatt .

Literatur:

letzte Änderung: 20. Juli 2010

Uwe Semmelmann ( uwe.semmelmann@math.uni-koeln.de)

Th. Bröcker, K. Jänich
Einführung in die Differentialtopologie
Springer Verlag

J.Milnor
Topology from the Differentiable Viewpoint
University Press of Virginia

G. Bredon
Topology and Geometry
Springer Verlag (1993), GTM 139

V. Guillemin, A. Pollack
Differential Topology
Prentice Hall

M. Hirsch
Differential Topology
Springer Verlag (1997), GTM 33

I. Madsen, J. Tornehave
From Calculus to Cohomology
Camebridge University Press (1997)

D. Barden, C. Thomas
An Introduction to Differential Manifolds
Imperial College Press (2003)